Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Dạng hình học

Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Dạng hình học

A. Phương pháp giải

B1: Lập phương trình
– Chọn ẩn số và đặt điều kiện kèm theo cho ẩn
– Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

– Lập phương trình biểu lộ đối sánh tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết
B2: Giải phương trình

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Một số lưu ý:
– Nếu hình chữ nhật có 2 cạnh là a và b thì diện tích quy hoạnh của hình chữ nhật là a. b ,
chu vi của hình chữ nhật là 2 ( a + b )
– Nếu hình vuông vắn có cạnh bằng a thì diện tích quy hoạnh hình vuông vắn là a2, chu vi của hình vuông vắn là 4 a
– Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh, diện tích quy hoạnh tam giác bằng một nửa tích độ dài đường cao nhân cạnh đáy tương ứng
– Nếu tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là a và b, cạnh huyền là c thì
c2 = a2 + b2 ( Định lý Pi-ta-go )
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153cm2. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu

Giải
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x cm ( x > 0 )
⇒ chiều dài của hình chữ nhật là 3 x ( cm )
Chiều rộng tăng thêm 5 cm thì có độ dài mới là x + 5 ( cm )
Chiều dài tăng thêm 5 cm thì có độ dài mới là 3 x + 5 ( cm )
Vì diện tích quy hoạnh hình chữ nhật mới là 153 cm2 nên ta có phương trình :

Vậy hình chữ nhật khởi đầu có chiều rộng là 4 cm, chiều dài là 12 cm. Do đó chu vi của hình chữ nhật khởi đầu là : 2 ( 4 + 12 ) = 32 ( cm )
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 20cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

Giải
Gọi một cạnh góc vuông của tam giác là x cm ( x > 0 )
⇒ cạnh góc vuông còn lại của tam giác là x + 4 ( cm )
Vì cạnh huyền của tam giác bằng 20 cm nên theo định lý Pitago ta có phương trình

Với x = – 16 không thỏa mãn nhu cầu x > 0 ( loại )
Với x = 12 thỏa mãn nhu cầu x > 0 ( nhận )
Vậy một cạnh góc vuông là 12 cm, cạnh còn lại 16 cm

B. Bài tập

Câu 1: Một thửa ruộng tam giác có diện tích 180m2. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên 4m và chiều cao tương ứng giảm đi 1m thì diện tích không đổi

A. 10m

B. 35m

C. 36m

D. 18m

Giải
Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là x ( m ), x > 0
Từ công thức tính diện tích tam giác ta có chiều cao của thửa ruộng là  (m)
Cạnh đáy tăng lên 4 m thì có độ dài mới là x + 4 ( m )
Chiều cao giảm đi 1m thì có độ dài mới là (m)
Vì sau khi cạnh đáy tăng lên 4 m và chiều cao tương ứng giảm đi 1 m thì diện tích quy hoạnh không đổi nên ta có phương trình

Ta thấy x = – 40 < 0 ( loại ), x = 36 > 0 ( nhận )
Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là 36 m
Đáp án là C

Câu 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương đường chéo gấp 5 lần chu vi. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật

A. 6m và 12m

B. 7m và 13m

C. 8m và 14m

D. 9m và 15m

Giải
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x ( m ), x > 0
⇒ chiều dài của hình chữ nhật là x + 6
Chu vi của hình chữ nhật là : 2 ( x + x + 6 ) = 4 x + 12
Bình phương độ dài đường chéo là : x2 + ( x + 6 ) 2
Vì bình phương đường chéo gấp 5 lần chu vi nên ta có phương trình

Ta thấy x = – 2 < 0 ( loại ), x = 6 > 0 ( nhận )
Vậy chiều rộng bằng 6 m, chiều dài bằng 12 m
Đáp án là A

Câu 3: Một tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m. Nếu tăng một cạnh góc vuông lên 2 lần và giảm một cạnh góc vuông đi 3 lần thì được tam giác mới có diện tích 51m2. Tính độ dài hai cạnh góc vuông

A. 8m và 16m

B. 9m và 17m

C. 10m và 18m

D. 11m và 19m

Giải
Gọi độ dài một cạnh góc vuông là x ( m ), x > 0
⇒ cạnh góc vuông còn lại là x + 8
Giả sử tăng cạnh nhỏ lên 2 lần thì độ dài cạnh nhỏ là 2 x
Giảm cạnh lớn đi 3 lần thì độ dài cạnh lớn là
Vì tam giác mới có diện tích quy hoạnh 51 mét vuông nên ta có phương trình

Ta thấy x = – 17 < 0 ( loại ), x = 9 > 0 ( nhận )
Vậy tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng 9 m, cạnh còn lại là 17 m
Đáp án là B

Câu 4: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m. Nếu chiều dài tăng thêm 1/4 lần độ dài của nó thì được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 3m2. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu

A. 12m2

B. 13m2

C. 14m2

D. 15m2

Giải
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x ( m ), x > 0
chiều dài của hình chữ nhật là x + 1 ( m )
Chiều dài tăng thêm 1/4 lần độ dài của nó thì có độ dài mới là
Diện tích của hình chữ nhật khởi đầu là : x ( x + 1 )
Diện tích hình chữ nhật mới là
Vì diện tích quy hoạnh hình chữ nhật mới hơn diện tích quy hoạnh của hình chữ nhật khởi đầu 3 mét vuông nên ta có phương trình

Với x = 3 thỏa mãn nhu cầu x > 0 ( nhận )
Với x = – 4 không thỏa mãn nhu cầu x > 0 ( loại )
Vậy hình chữ nhật bắt đầu có chiều rộng là 3 m, chiều dài là 4 m. Do đó diện tích quy hoạnh của hình chữ nhật bắt đầu là : 3.4 = 12 ( mét vuông )
Đáp án là A

Câu 5: Một tam giác vuông có chu vi là 60m và có cạnh huyền là 25m. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác.

A. 28m và 7m

B. 18m và 17m

C. 30m và 5m

D. 20m và 15m

Giải
Tổng hai cạnh góc vuông bằng 60 – 25 = 35 ( m )
Gọi độ dài một canh góc vuông là x ( m ), 35 > x > 0
⇒ cạnh góc vuông còn lại là 35 – x
Áp dụng Pitago cho tam giác ta có phương trình :

Vậy tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng 20 m, cạnh còn lại là 15 m
Đáp án là D

Câu 6: Một hình chữ nhật có cạnh này bằng 2/3 cạnh kia. Nếu bớt đi mỗi cạnh 5m thì diện tích của hình chữ nhật giảm đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu

A. 75m và 50m

B. 60m và 40m

C. 30m và 20m

D. 45m và 30m

Giải
Gọi một cạnh của hình chữ nhật là x ( m ), x > 5

Vì diện tích quy hoạnh hình chữ nhật mới giảm đi 16 % nghĩa là chỉ bằng 84 % diện tích quy hoạnh của hình chữ nhật bắt đầu nên ta có phương trình

Với x = 3,125 không thỏa mãn nhu cầu x > 5 ( loại )
Với thỏa mãn nhu cầu x > 5 ( nhận )
Vậy hình chữ nhật bắt đầu có một cạnh là 75 m, cạnh còn lại là 50 m .
Đáp án là A

Câu 7: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m2.

A. 70m và 70m

B. 60m và 80m

C. 30m và 110m

D. 50m và 90m

Giải
Nửa chu vi của khu vườn là 280 : 2 = 140 ( m )
Gọi một cạnh của khu vườn là : x ( m ), 4 < x < 140 ⇒ cạnh còn lại của khu vườn là : 140 – x ( m ) Diện tích của hàng loạt khu vườn là : x ( 140 – x ) Diện tích để làm lối đi là : 4 ( x – 4 ) + 4 ( 140 – x ) = 544 ( mét vuông ) Vì diện tích quy hoạnh đất còn lại để trồng cây là 4256 mét vuông nên ta có phương trình
Vậy khu vườn có một cạnh là 80 m, cạnh còn lại là 60 m .
Đáp án là B

Câu 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 250m. Tính diện tích của khu vườn biết rằng nếu một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì chu vi của khu vườn không đổi

A. 3720m2

B. 3730m2

C. 3740m2

D. 3750m2

Giải
Nửa chu vi của khu vườn là 250 : 2 = 125 ( m )
Gọi cạnh thứ nhất của khu vườn là : x ( m ), 0 < x < 125 ⇒ cạnh thứ hai của khu vườn là : 125 – x ( m ) Giả sử cạnh thứ nhất giảm đi 3 lần thì độ dài cạnh thứ nhất bằng (m)
Giả sử cạnh thứ hai tăng lên 2 lần thì độ dài cạnh thứ hai bằng 2 ( 125 – x ) ( m )
Vì khi một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì chu vi của khu vườn không đổi nên ta có phương trình

Vậy một cạnh của khu vườn bằng 75 m, cạnh còn lại là 50 m. Do đó diện tích quy hoạnh của khu vườn hình chữ nhật bắt đầu là : 75 × 50 = 3750 ( mét vuông )
Đáp án là D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 tinh lọc, có đáp án hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập