Khái niệm về hệ phương trình
Trước khi khám phá các dạng toán về hệ phương trình thường gặp, tất cả chúng ta sẽ cùng điểm qua một số ít kỹ năng và kiến thức triết lý quan trọng cần biết về khái niệm và đặc thù của hệ phương trình .
Hệ phương trình cơ bản
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cơ bản thường được viết dưới dạng :
ax+by=c (1)
Bạn đang đọc: Tổng hợp các dạng toán giải hệ phương trình thường gặp
a1x + b1y = c1 ( 2 )
Trong đó, các thông số a, b, c, a1, b1, c1 là những số thuộc tập số thực được cho trước, còn x và y là hai biến của hệ phương trình .
Một số điều cần quan tâm khi giải toán tương quan đến hệ phương trình :
- Giải hệ phương trình nghĩa là tìm ra tổng thể các nghiệm thỏa mãn nhu cầu cả hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) của nó .
- Hai hệ phương trình được gọi là tương tự nếu có chung một tập nghiệm .
- Nghiệm của hệ phương trình là giá trị ( x, y ) thỏa mãn nhu cầu cả hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) ( hay còn được gọi là nghiệm chung của hai phương trình này ) .
- Trong trường hợp hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) không có nghiệm chung nào thì hệ phương trình vô nghiệm .
Hệ phương trình đẳng cấp
Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là một dạng hệ phương trình đặc biệt quan trọng gồm có 2 phương trình 2 ẩn, trong đó bậc của ẩn ở mỗi phương trình là giống nhau. Dạng tổng quát của hệ phương trình được viết dưới dạng :
f ( x ; y ) = a1
g ( x ; y ) = a2
Trong đó, f và g là các hàm số có bậc của hai ẩn x, , y giống nhau .
Ví dụ về hệ phương trình quý phái bậc 2 :
x2 + 3 xy – 2 y2 = 3
x2-xy+y2 = 4
Hệ phương trình đối xứng
Hệ phương trình đối xứng là một dạng hệ phương trình đặc biệt quan trọng mà khi ta đổi khác vai trò của hai biến x, y thì hệ phương trình không có gì biến hóa. Về cơ bản, hệ phương trình đối xứng gồm có hai loại là đối xứng loại 1 và đối xứng loại 2. Cụ thể :
- Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Là hệ phương trình mà trong đó hai biến x, y đối cứng với nhau trong mỗi phương trình riêng không liên quan gì đến nhau .
- Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Là hệ phương trình mà trong đó nếu ta biến hóa vị trí x và y của phương trình ( 1 ) thì sẽ được phương trình ( 2 ) và ngược lại .
Ví dụ về phương trình đối xứng loại 1 :
x2 + 2 x + 2 y + y2-1 = 0
x3 + y3 + xy = 1
Ví dụ về phương trình đối xứng loại 2 :
x3 – x2y = x
y3-xy2 = y
Phương pháp chung để giải hệ phương phương trình cơ bản
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường được giải bằng hai chiêu thức là giải pháp thế và giải pháp cộng đại số. Cụ thể :
Phương pháp thế
Bước 1 : Nếu thông số a1 của hệ phương trình khác 0 thì ta rút biến x từ phương trình ( 1 ) sau đó thế vào phương trình thứ hai. Lúc này, ta được một phương trình chỉ chứa duy nhất 1 ẩn y .
Bước 2 : Giải phương trình vừa tìm được để tìm ra ẩn y
Bước 3 : Thay giá trị của ẩn y vào phương trình bất kể để tìm ra ẩn x
Bước 4 : Kết luận tập nghiệm của hệ phương trình .
Phương pháp cộng đại số
Bước 1 : Biến đổi hai phương trình sao cho ẩn x hoặc ẩn y có thông số bằng nhau hoặc thông số đối nhau ( bằng cách nhân cả hai phương trình với một số ít thích hợp ) .
Bước 2 : Cộng ( hoặc trừ ) vế với vế của hai phương trình để suy ra được phương trình một ẩn duy nhất
Bước 3 : Giải phương trình vừa tìm được sau đó Kết luận nghiệm của hệ phương trình .
Các dạng toán giải bất phương trình thường gặp cần nhớ
Sau khi đã tìm hiểu phương pháp giải hệ phương trình cơ bản thì CMATH sẽ cung cấp cho các em một số dạng toán thường gặp trong các đề thi liên quan đến hệ phương trình:
Dạng toán giải hệ phương trình thông qua ẩn phụ
Phương pháp giải các dạng toán hệ phương trình trải qua ẩn phụ sẽ gồm có các bước đơn cử như sau :
- Bước 1 : Tìm điều kiện kèm theo xác lập cho các phương trình đơn lẻ trong hệ ( nếu thiết yếu ) .
- Bước 2 : Đưa hệ phương trình đã cho về dạng cơ bản ( nếu thiết yếu )
- Bước 3 : Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện kèm theo xác lập của ẩn phụ
- Bước 4 : Đưa hệ phương trình đã cho về hệ mới trải qua ẩn phụ
- Bước 5 :Giải hệ phương trìnhvừa tìm được, sau đó dựa vào điều kiện kèm theo xác lập để tìm ra giá trị của ẩn phụ
- Bước 6 : Thế giá trị vừa tìm được của ẩn phụ vào biểu thức dùng để đặt ẩn phụ ở bước 3, sau đó tìm ra biến bắt đầu .
- Bước 7 : Đối chiếu giá trị của biến với điều kiện kèm theo xác lập của hệ phương trình, sau đó Tóm lại nghiệm .
Bài toán ví dụ : Tìm tập nghiệm của hệ phương trình sau :
x-3 – 4 y = 5
3 x – 3 + 4 y = – 1
Lời giải chi tiết cụ thể :
Điều kiện xác lập của hệ phương trình : x 0, y0
Giả sử t = x-3 ( t > 0 ) và u = 4 y, ta có hệ phương trình mới như sau :
t-u = 5
3 t + u = – 1
t = 1, u = – 4
Đối chiếu với điều kiện kèm theo của ẩn phụ, ta thấy giá trị t = 1, u = – 4 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu .
Thay t = 1, u = – 4 ta có :
x-3 = 1 x-3 = 1 x = 4
4 y = – 4 y = – 1
Đối chiếu với điều kiện kèm theo xác lập của hệ phương trình, ta thấy giá trị của x, y thỏa mãn nhu cầu
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( 4, – 1 )
Dạng toán giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Phương pháp giải :
- Bước 1 : Tìm điều kiện kèm theo xác lập của hệ phương trình ( nếu thiết yếu )
- Bước 2 : Đặt S = x + y, P = xy ( theo định lý Vi-ét ) với điều kiện kèm theo xác lập làS24P .
- Bước 3 : Thế các giá trị của x và y bằng S, P vào phương trình .
- Bước 4 :Giải hệ phương trình mới, tìm ra S,P sau đó dùng Vi-ét đảo để xác định 2 nghiệm x,y của hệ phương trình.
- Bước 5 : Đối chiếu với điều kiện kèm theo xác lập của hệ phương trình sau đó Kết luận nghiệm .
Một số chú ý quan tâm trong dạng toán này :
- Cần nhớ một số ít đổi khác sau :S22P =x2+y2;S33SP =x3+y3
- Ở các bài toán rắc rối hơn, hoàn toàn có thể phải vận dụng thêm đặt ẩn phụ, sau đó mới dùng định lý Vi-ét vào các ẩn phụ vừa đặt .
- Một số hệ phương trình sau khi đặt ẩn phụ mới trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Lúc này mới hoàn toàn có thể vận dụng được cách giải như trên .
Dạng toán giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Phương pháp giải :
Hệ phương trình đối xứng bậc 2 có dạng :
f ( x, y ) = 0 ( 1 )
f ( y, x ) = 0 ( 2 )
Bước 1 : Tìm điều kiện kèm theo của hệ phương trình ( nếu thiết yếu ) .
Bước 2 : Lấy phương trình ( 1 ) trừ đi phương trình ( 2 ), ta sẽ được một biểu thức có dạng : ( x-y ) g ( x, y ) = 0 .
Bước 3 : Từ hiệu quả phía trên, suy ra 2 trường hợp : x-y = 0 hoặc g ( x, y ) = 0
Bước 4 : Giải từng trường hợp một :
- Nếux-y = 0, ta hoàn toàn có thể suy ra được nghiệm của phương trình ngay hoặc phối hợp với các tài liệu khác để Tóm lại nghiệm .
- Nếug ( x, y ) = 0, hệ phương trình thường thì quay về dạng đối xứng loại 1, trong đa số các trường hợp là vô nghiệm .
Bước 5 : Đối chiếu với điều kiện kèm theo của hệ phương trình để tìm ra tập nghiệm đúng nhất .
Dạng toán giải hệ phương trình đẳng cấp
Phương pháp giải :
Hệ phương trình quý phái sẽ có dạng như sau :
f ( x ; y ) = a1 ( 1 )
g ( x ; y ) = a2 ( 2 )
Trong đó, bậc của các ẩn số trong mỗi phương trình là bằng nhau
- Bước 1 : Tìm điều kiện kèm theo xác lập của hệ phương trình ( nếu thiết yếu )
- Bước 2 : Nhân phương trình ( 1 ) với a2 và nhân phương trình ( 2 ) với a1. Sau đó, trừ hai phương trình cho nhau để làm mất thông số tự do .
- Bước 3 : Giả sử x = ky. Thay ẩn phụ này vào phương trình mới tìm được ở bước 2 ta sẽ được phương trình mới có dạng :yn( Ak2+ Bk + C ) = 0
- Bước 4 : Giải phương trình mới tìm được bằng cách xét hai trường hợp riêng rẽ : y0hoặc y = 0. Chỉ trường hợp y0mới tìm được giá trị k thỏa mãn nhu cầu .
- Bước 5 : Thế x = ky vào một trong hai phương trình trong hệ để tìm ra biến y sau đó tìm ra biến x
- Bước 6 : Đối chiếu với điều kiện kèm theo xác lập của hệ phương trình sau đó Tóm lại nghiệm .
Một số lưu ý khi giải các dạng toán bất phương trình
Dưới đây là một số ít quan tâm dành cho các em khi học các dạng toán tương quan đến hệ phương trình :
Tránh nhầm lẫn giữa các loại hệ phương trình
Hệ phương trình có rất nhiều dạng khác nhau với cách giải độc lạ. Do đó, các em cần phải học thật kỹ đặc thù của từng loại hệ phương trình để không xảy ra thực trạng sai sót trong khi làm bài. Phương pháp giải của hệ này không hề vận dụng sang hệ kia, do đó nếu muốn sử dụng cách giải nào thì các em cần phải đổi khác hệ phương trình thành dạng tương ứng trước .
Nắm vững cách giải của từng dạng toán
Mỗi dạng toán lại có một giải pháp giải khác nhau. Để vận dụng và giải được các bài toán khó hơn thì trước hết, các em cần nắm vững các dạng toán cơ bản. Chỉ khi đã thuần thục và thuần thục trong việc giải các bài toán cơ bản thì các em mới có tư duy logic và tăng trưởng giải các bài toán lan rộng ra hơn. Do đó, với mỗi dạng khác nhau hãy làm thật nhiều bài, theo mức độ từ cơ bản đến khó .
Tham khảo:
Tổng hợp lý thuyết cần nhớ về tính đạo hàm của hàm số
Phân thức đại số là gì? Bài tập vận dụng
Toán 8 – Tất tần tật kiến thức và kỹ năng về diện tích quy hoạnh đa giác
Kết luận
Trên đây là một số dạng toán giải hệ phương trình cơ bản mà các em cần nắm được. Đây là một trong những dạng toán vô cùng phổ biến, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh những năm gần đây ở cả các bài cơ bản và bài khó. Do vậy, ôn luyện kỹ càng là vô cùng quan trọng để có nền tảng kiến thức vững vàng trước khi bước vào kỳ thi sắp tới.
THÔNG TIN LIÊN HỆ
- CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
- Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
- Hotline: 0973872184 – 0834570092
- Email: clbcmath@gmail.com
- FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
- Website: cmath.vn
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours