Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: Lý thuyết + Bài tập

Bài tập 1. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 6B. 4C. 5D. 3

Bạn đang đọc: Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: Lý thuyết + Bài tập

Lời giảiChọn BĐặt a = 2×2 – 15 x + 100 ; b = x2 + 10 x – 50 ta có bất phương trình :2 a – 2 b + a – b < 0 ⇔ 2 a + a < 2 b + b ⇔ a < b( do hàm số y = 2 x + x là hàm số đồng biến trên ℝ )Với a < b ⇔ 2x2 – 15 x + 100 < x2 + 10 x – 50 ⇔ x2 – 25 x + 150 < 0 ⇔ x ∈ ( 10 ; 15 ) .Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên .

Bài tập 2. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình log3 (x2 + x + 1) + 2×3 ≤ 3×2 + log3 x + m – 1 (ẩn x) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

A. m = 3B. m = 2C. m = 1D. m = – 1Lời giảiChọn Blog3 ( x2 + x + 1 ) + 2×3 ≤ 3×2 + log3 x + m – 1 ( 1 )Điều kiện x > 0

Xét , với x > 0

Với x ∈ ( 0 ; 1 ) ⇒ f ’ ( x ) < 0 ; với x ∈ ( 1 ; + ∞ ) ⇒ f ’ ( x ) > 0

Vậy bất phương trình có tối thiểu hai nghiệm ⇔ m – 1 > 0 ⇔ m > 1. Vậy m = 2 .

Bài tập 3. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2 – x + 2 + a․ln (x2 – x + 1) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a ∈ ( 2 ; 3 ]B. a ∈ ( 8 ; + ∞ )C. a ∈ ( 6 ; 7 ]D. a ∈ ( – 6 ; – 5 ]Lời giảiChọn C

Đặt suy ra

Bất phương trình x2 – x + 2 + a ․ ln ( x2 – x + 1 ) ≥ 0 ⇔ t + a ․ ln t + 1 ≥ 0 ⇔ a ․ ln t ≥ – t – 1Trường hợp 1 : t = 1 khi đó a ․ ln t ≥ – t – 1 luôn đúng với mọi a .

Trường hợp 2:

Ta có

Xét hàm số

Do đó

Trường hợp 3 : t > 1

Ta có

Xét hàm số

Vậy g ( t ) = 0 có tối đa một nghiệm .

Vì g (1) = –2; vậy g(t) = 0 có duy nhất một nghiệm trên (1; +∞)

Do đó f’(t) = 0 có duy nhất một nghiệm là t0. Khi đó suy ra f (t0) = –t0

Bảng biến thiên

Vậy

Vậy số thực a thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán là : a ∈ ( 6 ; 7 ]

Bài tập 4. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm là với a, b là các số nguyên dương và tối giản. Tổng S = a + b là:

A. S = 13B. S = 15C. S = 9D. S = 11Lời giảiChọn A

Ta có:

Xét

Do nên hay

Dấu đẳng thức xảy ra khi cos2 x = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ

Vậy .

Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi hay

Bài tập 5. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm?

A. m ≤ 4B. m ≥ 4C. m ≤ 1D. m ≥ 1Lời giảiChọn A

Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được

Xét hàm số là hàm số nghịch biến.

Ta có : 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4. Chọn đáp án A

Bài tập 6. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình log3 (x2 + x + 1) + 2×3 ≤ 3×2 + log3 x + m – 1 (ẩn x) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

A. m = 3B. m = 2C. m = 1D. m = – 1Lời giảiChọn Blog3 ( x2 + x + 1 ) + 2×3 ≤ 3×2 + log3 x + m – 1 ( 1 )Điều kiện x > 0

Xem thêm: Giải toán bằng cách lập hệ phương trình – Toán lớp 9

Xét , với x > 0

Với x ∈ ( 0 ; 1 ) ⇒ f ’ ( x ) < 0 ; với x ∈ ( 1 ; + ∞ ) ⇒ f ’ ( x ) > 0 .

Vậy bất phương trình có tối thiểu hai nghiệm ⇔ m – 1 > 0 ⇔ m > 1. Vậy m = 2 .

Bài tập 7. Biết tập nghiệm của bất phương trình là (a; b). Khi đó tổng a + 2b bằng?

A. 3B. 4C. 2D. 1Lời giảiChọn C

Xét hàm số

Dễ đánh giá

Bảng biến thiên :

Có f ( 0 ) = f ( 1 ) = 3 và dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x ) < 3 ⇔ x ∈ ( 0 ; 1 )Vậy a = 0 ; b = 1, suy ra a + 2 b = 2

Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a (a > 0) thỏa mãn

A. 0 < a < 1B. 1 < a < 2017C. a ≥ 2017D. 0 < a ≤ 2017Lời giảiChọn DTa có

Xét hàm số

Ta có

Nên y = f ( x ) là hàm giảm trên ( 0 ; + ∞ )Do đó f ( a ) ≤ f ( 2017 ), ( a > 0 ) khi 0 < a ≤ 2017

Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).

A. m ≤ 0B. m ≤ 0C. m < 0D. m > 0Lời giảiChọn BTa có ⇔ ( log2 x ) 2 + log2 x + m ≥ 0Đặt log2 x = t, khi x ∈ ( 1 ; 64 ) thì t ∈ ( 0 ; 6 )Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⟺ m ≥ – t2 – t ( * )Xét hàm số f ( t ) = – t2 – t với t ∈ ( 0 ; 6 )Ta có f ’ ( t ) = – 2 t – 1 < 0, ∀ t ∈ ( 0 ; 6 )Ta có bảng biến thiên :