• Dạng 1: $a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$
Cách giải: Đặt $t = \sin x$, điều kiện $|t| \le 1$, đưa phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, giải tìm $t$, chú ý kết hợp với điều kiện của $t$ rồi giải tìm $x.$
• Dạng 2: $a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$
Cách giải: Đặt $t = \cos x$, điều kiện $|t| \le 1$, đưa phương trình $a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, giải tìm $t$, chú ý kết hợp với điều kiện của $t$ rồi giải tìm $x.$
• Dạng 3: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$
Cách giải: Điều kiện $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Đặt $t = \tan x$ $\left( {t \in R} \right)$, đưa phương trình $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, chú ý khi tìm được nghiệm $x$ cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không.
• Dạng 4: $a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$
Cách giải: Điều kiện $\sin x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Đặt $t = \cot x$ $(t \in R)$, đưa phương trình $a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo ẩn $t$, giải tìm $t$ rồi tìm $x$, chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không.
Ví dụ 1: Giải phương trình $2{\cos ^2}x – 3\cos x + 1 = 0.$
$2{\cos ^2}x – 3\cos x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 1\\
\cos x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 2: Giải phương trình $\cot x – \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}.$
Điều kiện: $\sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$ $ \left( {k \in Z} \right).$
Ta có: $\cot x – \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} – \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$
$ \Leftrightarrow \cos 2x + 2{\sin ^2}2x = 1$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 1\\
\cos 2x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Ta thấy $\cos 2x = 1$ không thoả mãn điều kiện. Do đó:
PT $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow 2x = ± \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
2. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$
Phương trình lượng giác dạng $a\sin x + b\cos x = c$, trong đó $a, b, c \in R$ và ${a^2} + {b^2} \ne 0$ được gọi là phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$.
Cách giải: Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
• Bước 1: Kiểm tra:
+ Nếu ${a^2} + {b^2} < {c^2}$ thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$ khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2.
• Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, ta được:
$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x$ $ = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên tồn tại góc $\alpha $ sao cho $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha $ và $\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha .$
Khi đó phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có dạng $\sin x.\cos \alpha + \sin \alpha .\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Đây là phương trình lượng giác cơ bản của $sin$ mà ta đã biết cách giải.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
• Bước 1: Với $\cos \frac{x}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi $ $(k \in Z).$ thử vào phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ xem có là nghiệm hay không?
• Bước 2: Với $\cos \frac{x}{2} \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi $ $(k \in Z).$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ suy ra $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$, $\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có dạng: $a\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c$ $ \Leftrightarrow (c + b){t^2} – 2at + c – b = 0.$
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ sau đó giải tìm $x.$
Dạng đặc biệt:
• $\sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
• $\sin x – \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
Ví dụ 3: Giải phương trình $(1 + \sqrt 3 )\sin x + (1 – \sqrt 3 )\cos x = 2.$
Cách 1: Thực hiện phép biến đổi:
PT $ \Leftrightarrow (\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }})\sin x + (\frac{{1 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }})\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
Đặt $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \cos \alpha $, $\frac{{1 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$
Phương trình đã cho sẽ được viết thành $\sin x.\cos \alpha + \sin \alpha .\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \sin \frac{\pi }{4}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \alpha = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x + \alpha = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} – \alpha + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} – \alpha + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
$(\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x – \cos x) = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) – \sqrt 6 \cos (x + \frac{\pi }{4}) = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin (x + \frac{\pi }{4}) – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos (x + \frac{\pi }{4}) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4})\cos \frac{\pi }{3} – \cos (x + \frac{\pi }{4})\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}) = \sin \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x – \frac{\pi }{{12}} = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Đối với phương trình dạng $a\sin P(x) + b\cos Q(x)$ $ = c\sin Q(x) + d\cos P(x)$ trong đó $a, b, c, d ∈ R$ thoả mãn ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} > 0$ và $P(x)$, $Q(x)$ không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta có: PT $ \Leftrightarrow \sin \left[ {P(x) + \alpha } \right] = \sin \left[ {Q(x) + \beta } \right]$ (hoặc $\cos \left[ {P(x) + \alpha } \right] = \cos \left[ {Q(x) + \beta } \right]$).
Ví dụ 4: Giải phương trình: $\cos 7x – \sin 5x = \sqrt 3 (\cos 5x – \sin 7x).$
PT ⇔ $\cos 7x + \sqrt 3 \sin 7x = \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 7x$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x + \frac{1}{2}\sin 5x$
$ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos 7x + \sin \frac{\pi }{3}\sin 7x$ $ = \cos \frac{\pi }{6}\cos 5x + \sin \frac{\pi }{6}\sin 5x$
$ \Leftrightarrow \cos (7x – \frac{\pi }{3}) = \cos (5x – \frac{\pi }{6})$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{6}
\end{array} \right.$ $(k ∈ Z).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $ \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{6}
\end{array} \right.$ $(k ∈ Z).$
[ads]
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$ là phương trình có dạng $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$, trong đó $a, b, c, d ∈ R.$
Cách giải:
Cách 1: Chia từng vế của phương trình cho một trong ba hạng tử ${\sin ^2}x$, ${\cos ^2}x$ hoặc $\sin x.\cos x$. Chẳng hạn nếu chia cho ${\cos ^2}x$ ta làm theo các bước sau:
• Bước 1: Kiểm tra: $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ xem nó có phải là nghiệm của phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ hay không?
• Bước 2: Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế cho ${\cos ^2}x$ lúc đó phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ trở thành: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow (a – d){\tan ^2}x + b\tan x + c – d = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $tan$ đã trình bày cách giải ở phần 1.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc ${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}$, ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$, $\sin x.\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}$ đưa phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ về phương trình $b\sin 2x + (c – a)\cos 2x = d – c – a.$
Đây là phương trình bậc nhất đối với $sin$ và $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 2.
Xem thêm: Hướng dẫn cách giải Rubik 4×4 cơ bản
Mở rộng: Đối với phương trình đẳng cấp bậc $n (n ≥ 3) $ với dạng tổng quát: $A({\sin ^n}x, {\cos ^n}x, {\sin ^k}x{\cos ^h}x) = 0$ trong đó $k + h = n$, $k, h, n \in N$, khi đó ta cũng làm theo 2 bước:
• Bước 1: Kiểm tra xem $\cos x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Bước 2: Nếu $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình trên cho ${\cos ^n}x$ ta sẽ được phương trình bậc $n$ theo $\tan $. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 5: Giải phương trình $2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x.\cos x = 3 + \sqrt 3 .$
Cách 1:
+ Thử với $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ vào phương trình đã cho, ta có: $0 = 3 + \sqrt 3 $ (vô lý). Vậy $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.
+ Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$, ta được: $2\sqrt 3 + 6\tan x = (3 + \sqrt 3 )(1 + {\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow (3 + \sqrt 3 ){\tan ^2}x – 6\tan x + 3 – \sqrt 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} = \tan \alpha
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Cách 2:
PT $ \Leftrightarrow \sqrt 3 (1 + \cos 2x) + 3\sin 2x = 3 + \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos (2x – \frac{\pi }{3}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x – \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 6: Giải phương trình $\frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x .$
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0\\
\tan x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne – \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Biến đổi phương trình $\frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x$ về dạng:
$\frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \cos x – \sin x = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^3}$
Chia cả hai vế của phương trình $\cos x – \sin x = {\left( {_{}\cos x + \sin x} \right)^3}$ cho ${\cos ^3}x \ne 0$, ta được: $1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\tan x$ $ = {\left( {1 + \tan x} \right)^3}$
$ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + 2\tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 2} \right)\tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \tan x = 0$ $ \Leftrightarrow x = k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ (phương trình ${\tan ^2}x + \tan x + 2 = 0$ vô nghiệm).
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
4. Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$
Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ là phương trình dạng $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$, trong đó $a, b, c \in R.$
Cách giải:
Cách 1: Do ${(\sin x + cosx)^2} = 1 + 2\sin x\cos x$ nên ta đặt: $t = \sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4})$ $ = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} – x)$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 .$
Suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}$ và phương trình $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ được viết lại: $b{t^2} + 2at – (b + 2c) = 0.$
Cách 2: Đặt $t = \frac{\pi }{4} – x$, ta có:
$\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} – x)$ $ = \sqrt 2 \cos t.$
$\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{2} – 2x)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2t = {\cos ^2}t – \frac{1}{2}.$
Phương trình $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ trở thành $b{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x – \frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai theo $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 1.
Chú ý: Phương trình lượng giác dạng $a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ được giải tương tự bằng cách đặt $t = \sin x – \cos x.$
Ví dụ 7: Giải phương trình $\sin x + \cos x – 2\sin x\cos x + 1 = 0.$
Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Phương trình đã cho trở thành: $t – 2(\frac{{{t^2} – 1}}{2}) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = – 1\\
t = 2
\end{array} \right.$ (loại $t = 2$ vì không thỏa mãn điều kiện).
Với $t = – 1$ $⇔ \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $ \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
5. Phương trình lượng giác hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng $\tan x$ và $cotx$
Phương trình lượng giác hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng $\tan x$ và $cotx$ là phương trình có dạng ${p_k}\sum\limits_{k = 1}^n {({{\tan }^k}x + {\alpha ^k}{{\cot }^k}x)} $ $ + q(\tan x \pm \alpha \cot x) + r = 0$ $(\alpha > 0; k \ge 2).$
Cách giải:
• Bước 1: Đặt ẩn phụ $\left[ \begin{array}{l}
t = \tan x + \alpha \cot x \left( {|t| \le 2\sqrt 2 } \right)\\
t = \tan x – \alpha \cot x \left( {t \in R} \right)
\end{array} \right.$ đưa phương trình đã cho về dạng đại số $F(t) = 0.$
• Bước 2: Giải phương trình $F(t) = 0$ và loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán.
• Bước 3: Với nghiệm $t$ tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm $x.$
Ví dụ 8: Giải phương trình: ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x – 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x)$ $ – 3(\tan x – \cot x) + 10 = 0.$
Phương trình $ \Leftrightarrow {\tan ^3}x – {\cot ^3}x – 3\tan x.\cot x(tanx – cotx)$ $ – 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x – 2) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow {(\tan x – \cot x)^3}$ $ – 3(\tan x – \cot x) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x – \cot x = – 1\\
\tan x – \cot x = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha \\
\cot 2x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\
x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\
x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right)$ với $\cot 2\alpha = \frac{1}{2}.$
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours