Cách xét tính đơn điệu của hàm số cực hay

Bài viết Cách xét tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 với rất đầy đủ chiêu thức giải bài tập và trên 10 bài tập cơ bản và nâng cao có giải thuật chi tiết cụ thể giúp học viên lớp 12 biết cách làm bài tập xét tính đơn điệu của hàm số .

Cách xét tính đơn điệu của hàm số cực hay

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( tăng ) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( giảm ) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng chừng K thì f ‘ ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ K và f ‘ ( x ) = 0 xảy ra tại một số ít điểm hữu hạn .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K thì f ‘ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ K và f ‘ ( x ) = 0 xảy ra tại 1 số ít điểm hữu hạn .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f ‘ ( x ) > 0, ∀ x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng chừng K .
Nếu f ‘ ( x ) < 0, ∀ x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K . Nếu f ' ( x ) = 0, ∀ x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng chừng K . 4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 – 6×2 + 9x -3

Hướng dẫn
Tập xác lập : D = R
Ta có y ‘ = 3×2 – 12 x + 9
y’ = 0 ⇔
Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 3 ; + ∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 3 )

Quảng cáo

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn
Tập xác lập D = [ 0 ; 2 ]
Ta có : y’ = y’ = 0 ⇔ x=1
Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; 1 ) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 2 )
Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 – x)

Hướng dẫn
Hàm số xác lập và liên tục trên D = R \ { 1 } .
Tìm y’ = > 0; ∀x ≠ 1.
Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 1 ; + ∞ ) .

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x3 + 6×2 – 9x + 4
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập trên D = R .
Tính y’ = -3×2 + 12x – 9. Cho y’ = 0 ⇔ -3×2 + 12x – 9 = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên ( 1 ; 3 ) .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 3 ; + ∞ )

Quảng cáo

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 – 2x)/(x + 7)

Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập và liên tục trên : D = R \ { – 7 } .
Tính y’ = > 0,∀x ∈ D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên : ( – ∞ ; – 7 ) và ( – 7 ; + ∞ ) .
Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x4 + 4x + 6
Hiển thị đáp án
Tập xác lập : D = R .
Tính : y ‘ = 4×3 + 4. Cho y ‘ = 0 ⇔ 4×3 + 4 = 0 ⇔ x = – 1 .
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( – 1 ; + ∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 )
Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y =
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập khi : x2 – x + 3 > 0 đúng ∀ x ∈ R .
Hàm số đã cho xác lập trên D = R
Ta có: y’ =

Cho y’ = 0 ⇔ = 0 ⇔-5x + 8 = 0 ⇔ x = 8/5.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên ( – ∞ ; 8/5 ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 8/5 ; + ∞ )
Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y =
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập trên : D = R \ { – 2 } .
Ta có: y’ = ,∀x ∈ D.

Cho y’ = 0 ⇔ = 0 ⇔ -x2 – 4x + 5 = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên : ( – ∞ ; – 5 ) và ( 1 ; + ∞ )
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng ( – 5 ; – 2 ) và ( – 2 ; 1 )
Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y =
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập trên D = R .
Ta có: y’ =

Cho y’ = 0 ⇔ = 0 ⇔ -36×2 + 24x – 3 = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên ( – ∞ ; 1/6 ) và ( 1/6 ; + ∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1/6 ; 50% )
Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x2 – 2x – 3|
Hiển thị đáp án
Ta có: y = |x2 – 2x – 3| =
TXĐ : D = R .
Tìm y’ =
Hàm số không có đạo hàm tại x = – 1 và x = 3 .
Ta lại có : Trên khoảng chừng ( – 1 ; 3 ) : y ‘ = 0 ⇔ x = 1 .
Trên khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) : y ‘ < 0. Trên khoảng chừng ( 3 ; + ∞ ) :. y ' > 0
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và (3; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 1 ; 3 )

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập trên đoạn [ 0 ; π ] .
Ta có : y ‘ = 2 cosx – 2 sin2x = 2 cosx – 4cosx.sinx = 2 cosx ( 1 – 2 sinx ), x ∈ [ 0 ; π ] .
Trên đoạn[0; π]: y’ = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng ( π / 6 ; π / 2 ) ; ( 5 π / 6 ; π )
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập