Tìm tham số m để hàm số đơn điệu cực hay

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu cực hay

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
⇒ f ‘ ( x ) = 3 ax2 + 2 bx + c
    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

2. Hàm phân thức bậc nhất:
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng xác lập khi y ‘ > 0 hay ad-bc > 0
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng xác lập khi y ‘ > 0 hay ad-bc < 0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn
+ Tập xác lập : D = R
+ Ta có : y ‘ = x2 + 2 ( m + 1 ) x – ( m + 1 )
+ Δ ‘ = ( m + 1 ) 2 + 4 ( m + 1 ) = mét vuông + 6 m + 5
      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì
Vậy giá trị của tham số cần tìm là – 5 ≤ m ≤ – 1

Quảng cáo

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn
+ Tập xác lập : D = R
+ Đạo hàm y ‘ ≠ ( m2-m ) x2 + 4 mx + 3
      + Hàm số luôn đồng biến trên R y’≥0 ∀ x∈R

    Xét m2-m=0 ⇒
Với m = 0 phương trình trở thành y = 3 x – 1 ; y ‘ = 3 > 0 ∀ x ∈ R
⇒ m = 0 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
Với m = 1 phương trình trở thành y = 2×2 + 3 x – 1 ; y ‘ = 4 x + 3
    Khi đó y’>0 4x+3>0 x<-3/4 ⇒ m = 1 không thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .     Xét m2-m≠0

   Khi đó

Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là – 3 ≤ m < 0 Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn
+ Tập xác lập : D = R \ { m }
      + Đạo hàm . Dấu của y’ là dấu của biểu thức -m2-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y’>0 ∀x∈D

-m2-7m+8>0 -8
    Vậy giá trị m cần tìm là -8

B. Bài tập vận dụng

Quảng cáo

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3×2 + mx + 2 đồng biến trên R.
Hiển thị đáp án
+ Ta có: y ‘= 3×2 + 6x + m

+ Để hàm số đã cho đồng biến trên R thì y ‘ ≥ 0, ∀ x ∈ R
+ Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện kèm theo của m để y ‘ ≥ 0, ∀ x ∈ R
Ta có y ‘ = 3×2 + 6 x + m, ta có : a = 3 > 0, Δ = 36 – 12 m
Để y ‘ ≥ 0, ∀ x ∈ R khi Δ ≤ 0 ⇔ 36 – 12 m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≥ 3
Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số y = x3 – (m + 1) x2+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).
Hiển thị đáp án
+ Tập xác lập D = R .
+ Ta có y ‘ = 3×2 – 2 ( m + 1 ) x + 3 .
+ Hàm số y = x3 – ( m + 1 ) x2 + 3 x + 1 đồng biến trên khoảng chừng ( – ∞ ; + ∞ )
⇔ y ‘ ≥ 0, ∀ x ∈ R
⇔ Δ ‘ ≤ 0 ⇔ ( m + 1 ) 2 – 9 ≤ 0 ⇔ mét vuông + 2 m – 8 ≤ 0 ⇔ – 4 ≤ m ≤ 2 .
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là – 4 ≤ m ≤ 2
Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác định.
Hiển thị đáp án
Ta có:

Theo nhu yếu bài toán, để hàm số đồng biến trên từng khoảng chừng xác lập thì

y’>0,∀ x ∈D ⇔ -m2 + 6 > 0 ⇔ -√6
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là – √ 6 < m < √ 6

Câu 4: Cho hàm số y=. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hiển thị đáp án
TXĐ : D = R \ { 1 }
      + Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thành với mọix∈D
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng chừng xác lập
⇒ m = – 1 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán
      + Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có
Đặt g ( x ) = ( m + 1 ) x2 – 2 ( m + 1 ) x – 4 m và ta có y ‘ cùng dấu với g ( x )
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng chừng xác lập
⇔ ∀ x ∈ D, y ‘ ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ D, g ( x ) ≥ 0

Kết hợp cả 2 trường hợp, vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng biến trên từng khoảng xác định.
Hiển thị đáp án
Ta có:y’= . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m > 5
Câu 6: Tìm giá trị của m để hàm số y = sin⁡x – mx nghịch biến trên R
Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = cos ⁡ x – m .
Để hàm số nghịch biến trên R thì
y ‘ ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx – m ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx ≤ m ∀ x ∈ R
Vì – 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1 nên để cosx ≤ m ∀ x ∈ R thì m ≥ 1 .
Câu 7: Cho m, n không đồng thời bằng 0. Tìm điều kiện của m, n để hàm số y = msinx – ncosx – 3x nghịch biến trên R.
Hiển thị đáp án
Ta có :
y ‘ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ mcosx + nsinx – 3 ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ √ ( mét vuông + n2 ) cos ( x – α ) ≤ 3, ∀ x ∈ R
Vậy để hàm số nghịch biến trên R thì m2+n2≤9

Câu 8: Tìm tham số m thì hàm số y = sinx – cosx + 2017√2 mx đồng biến trên R.
Hiển thị đáp án
Tính đạo hàm y’ = cosx + sinx + 2017√2 m. y’ ≥ 0 ⇔=f(x)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ( – sinx – cosx ) 2 ≤ ( ( – 1 ) 2 + ( – 1 ) 2 ) ( sin2 x + cos2 x ) = 2

f(x) đạt giá trị lớn nhất là

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập